Analisi non lineare di edifici in muratura: verifica degli spostamenti

Nel precedente articolo, sono state indicate le procedure per associare alla curva di push-over del sistema reale, quella di un sistema ad un solo grado di libertà. La curva così ottenuta è stata ulteriormente modificata in modo da ricondursi ad un sistema dal comportamento elasto-plastico.

Tale procedimento consente di determinare gli spostamenti di capacità della struttura da confrontare con quelli di domanda. Per ogni stato limite deve risultare:

CAPACITÀ ≥ DOMANDA

La bilinearizzazione permette di definire la rigidezza del tratto elastico k* e di conseguenza il periodo proprio del sistema T*.

$k^{*}=\frac{F_{y}^{*}}{d_{y}^{*}}$

$T^{*}=2\pi\sqrt{\frac{m^{*}}{k^{*}}}$

Detta S_e(T^*) l’accelerazione spettrale, valutata in corrispondenza del periodo proprio T^* del sistema, è possibile calcolare il fattore di riduzione della forza q* (rapporto tra la forza richiesta ad un sistema dal comportamento completamente elastico F*_max di pari periodo e la forza di snervamento F^*_y):

$q^{*}=\frac{F_{max}^{*}}{F_{y}^{*}}=\frac{m^{*}S_{e}\left(T^{*}\right)}{F_{y}^{*}}$

o analogamente:

$q^{*}=\frac{F_{max}^{*}}{F_{y}^{*}}=\frac{k^{*}d_{e,max}^{*}}{k^{*}\cdot d_{y}^{*}}=\frac{d_{e,max}^{*}}{d_{y}^{*}}$

Definizione fattore di riduzione forza q*

Deve risultare, comunque:

$q^{*}\leq4$

Infatti, come riportato al § 7.8.1.6 delle NTC 2018“la verifica di sicurezza non è soddisfatta qualora il rapporto tra taglio totale agente alla base del sistema equivalente a un grado di libertà, calcolato con lo spettro di risposta elastico, e taglio alla base resistente del sistema equivalente a un grado di libertà ottenuto dall’analisi non lineare, ecceda il valore 4”.

Calcolo dello spostamento di domanda

Lo spostamento di domanda d^*_max si calcola in funzione dello spostamento del sistema elastico d^*_e,max di un sistema di pari periodo T*. Per periodi minori di T_C vale il principio di uguaglianza dell’energia, per valori maggiori si assume l’uguaglianza degli spostamenti.

Definito il fattore di duttilità richiesto al sistema:

$\mu^{*}=\frac{d_{max}^{*}}{d_{y}^{*}}$

ricordando la definizione di q^* si ha:

$d_{max}^{*}=\frac{\mu^{*}}{q^{*}}d_{e,max}^{*}$

È proprio quest’ultima relazione che permette di calcolare lo spostamento richiesto al sistema, noto lo spostamento elastico, valutabile dallo spettro di risposta.

La formulazione riportata all’interno delle Circolare applicativa si rifà alle relazioni proposte da Vidic, che associano il valore di μ^* a quello di q^*.

Per T ≥T_C

$q^{*}=\mu^{*}$

$d_{max}^{*}=d_{e,max}^{*}=S_{d}\left(T^{*}\right)$

Per T < T_C

$q^{*}=1+\left(\mu^{*}-1\right)\frac{T_{C}}{T}\rightarrow\mu^{*}=1+\left(q^{*}-1\right)\frac{T}{T_{C}}$

$d_{max}^{*}=\frac{d_{e,max}^{*}}{q^{*}}\left[1+\left(q^{*}-1\right)\frac{T_{C}}{T^{*}}\right]$

Prescrizioni della normativa

Si riporta quanto definito al § C7.3.4.2 della Circolare applicativa. “Nel caso in cui T^*≥ T_C la domanda in spostamento per il sistema anelastico è assunta uguale a quella di un sistema elastico di pari periodo

$d_{max}^{*}=d_{w,max}^{*}=S_{d}\left(T^{*}\right)$

Nel caso in cui T^*< T_C la domanda in spostamento per il sistema anelastico è maggiore di quella di un sistema elastico di pari periodo e si ottiene da quest’ultima mediante l’espressione:

$d_{max}^{*}=\frac{d_{e,max}^{*}}{q^{*}}\left[1+\left(q^{*}-1\right)\frac{T_{C}}{T^{*}}\right]\geq d_{e,max}^{*}$

dove q^*=S_e(T^*)m^*/F^*_y è il rapporto tra la forza di risposta elastica e la forza di snervamento del sistema equivalente.

Se risulta q^*≤1 allora si ha d^*_max = d^*_e,max”.

Procedimento grafico

La prestazione della struttura può essere anche rappresentata graficamente, in maniera sintetica, sovrapponendo spettro di domanda e spettro di capacità.

Gli spettri di accelerazione e spostamento vanno convertiti nello spettro ADRS (Acceleration Displacement Response Spectrum), in cui, per un dato periodo di vibrazione e un dato valore dello smorzamento viscoso equivalente, si riportano in ordinata la massima pseudo-accelerazione S_a e in ascissa il relativo spostamento massimo S_d. Poiché vale la relazione:

$S_{d}\left(T\right)=\left(\frac{T}{2\pi}\right)^{2}S_{e}\left(T\right)$

l’inclinazione α della generica retta passante per l’origine degli assi, che interseca la curva in un punto (S_a, S_d), corrisponde a un determinato valore di periodo:

$tan\alpha=\frac{S_{a}\left(T\right)}{S_{d}\left(T\right)}=\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2}$

Per ogni periodo T è possibile tracciare la retta che individua accelerazione e spostamento richiesti alla struttura caratterizzata da un periodo fondamentale pari proprio a T. Analogamente, la curva di capacità si trasforma in una curva di capacità spettrale attraverso le equazioni:

$S_{d}=d^{*}$

$S_{d}=\frac{F^{*}}{m^{*}}$

Anche in questo caso l’inclinazione del tratto elastico è legata al periodo della struttura, secondo la [6].

Prolungando il tratto elastico dello spettro di capacità, fino ad intersecare lo spettro di domanda, si ottiene il punto di prestazione della struttura, caratterizzato da valori di accelerazione e spostamento che competono al valore di periodo pari a T^*.

Se la struttura è sufficientemente deformabile (T^*≥T_C) lo spostamento richiesto è pari a quello letto in corrispondenza dell’intersezione tra la retta elastica e lo spettro di domanda (per il pricipio di uguale spostamento tra struttura elastica e anelastica).

Viceversa (T^*<T_C), lo spostamento di domanda sarà maggiore di quello ottenuto graficamente.

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