inSide

Calcolo e verifica di edifici in muratura e misti

inSide è il software che ti permette di affrontare in maniera professionale: 

      • il disegno semplice e immediato del modello strutturale utilizzando avanzati modelli parametrici
      • la gestione di interventi strutturali (rinforzi, piattabande, catene, telai, ecc..)
      • il calcolo con avanzati algoritmi computazionali (Metodo non lineare del Gradiente Coniugato) e la verifica secondo il DM 14-1-2008 "Norme Tecniche per le Costruzioni”
      • la gestione dei risultati per un’immediata interpretazione

 

inSide opera nell’ambiente di IperSpace Max  consentendo la verifica, quindi, anche di strutture in muratura e miste, cioè comprendenti anche elementi lineari (costituiti da c.a., acciaio, legno, ecc.). inSide si differenzia per due aspetti principali:

        • modellazione avanzata di tutta la struttura con discretizzazione dinamica (meshing) che consente di aggiornare automaticamente, e in tempo reale, il modello fem ad ogni minima modifica della struttura
        • metodo di calcolo inedito e avanzatissimo sviluppato in collaborazione con tre università italiane (Università di Napoli, Università di Salerno e Università di Roma Tor Vergata)

 

L’innovativo metodo di calcolo si basa sulla minimizzazione del funzionale dell’Energia Potenziale Totale, definito su una discretizzazione del modello mediante nodi, segmenti (edge) e triangoli, fornito dalla somma dell’energia elastica della geometria e dell’energia dei carichi. 

La ricerca del mimimo viene perseguita attraverso un algoritmo basato sul metodo del Gradiente Coniugato (CGM). In particolare il solutore realizzato implementa il CGM non lineare di Polak–Ribiere: il minimo viene ricercato seguendo opportune linee o direzioni di discesa pk (line search).

 

inSide: Modellazione strutturale 3DUn esempio di struttura multipiano in muratura. inSide: Manipolazione grafica delle apertureI fori sono considerati degli oggetti, pertanto possono essere modificati in qualsiasi momento. inSide: Modifica interattiva della geometria del muroI muri possono essere modificati in tempo reale. inSide: Esempio di foro compostoPer aperture complesse vi è la possibilità di combinare due o più fori elementari.
Modellazione strutturale 3D Manipolazione grafica
delle aperture
Modifica interattiva
della geometria del muro
Esempio di foro composto
       
inSide: Modellazione strutturale 3DLa modellazione può essere agevolata da piante e prospetti vettoriali. inSide: Manipolazione grafica delle apertureI fori e le pareti vengono discretizzati automaticamente. inSide: Modifica interattiva della geometria del muroIl modello FEM può essere visualizzato in qualsiasi momento. inSide: Esempio di foro compostoIl modello agli elementi finiti può essere visualizzato anche in fase di modellazione.
DXF di supporto
su piano arbitrario
Modello FEM
con foro selezionato
Modello FEM
di un'intera parete
Modello fem 
dell'intera struttura

 

 


Programmi di calcolo per le murature: stato dell'arte 

Comportamento non lineare

Livelli di PerformanceLe esperienze maturate a seguito di terremoti violenti hanno evidenziato che la sopravvivenza dei manufatti murari agli eventi sismici è in molti casi assicurata dal loro comportamento inelastico. Il danneggiamento che il materiale muratura presenta già per bassi livelli tensionali rende i metodi dell'analisi lineare fortemente inadatti a studiarne la risposta. La valutazione del comportamento inelastico e della duttilità globale del sistema viene in tal caso considerata in maniera sintetica, attraverso la sola definizione del fattore di struttura da impiegare per la riduzione delle ordinate dello spettro elastico. Ne consegue che l'analisi del comportamento sotto sisma di costruzioni in muratura e la valutazione degli effetti migliorativi di possibili interventi di consolidamento richiedono l'utilizzo di adeguate procedure di analisi in campo non lineare. Al riguardo anche i documenti normativi più recenti, che individuano nella domanda di spostamento la grandezza fondamentale della progettazione sismoresistente, richiedono l'applicazione di modelli e metodi di analisi non lineare per stimare la vulnerabilità sismica degli edifici esistenti e per valutare l'efficacia di possibili interventi di rinforzo. Tali codici, in accordo con la filosofia del Performance-Based Engineering richiedono inoltre di valutare la sicurezza strutturale non solo nei confronti delle condizioni di collasso ma anche con riferimento ad altri stati limite di danno o "livelli prestazionali" intermedi.

Il comportamento primariamente non lineare delle strutture murarie, qualitativamente associato al fenomeno del danneggiamento, dipende da diversi fattori che hanno scale di importanza diverse. La prima e più importante sorgente di non linearità è legata alla piccolezza e aleatorietà della resistenza a trazione che rende il comportamento della muratura essenzialmente unilaterale, ossia non reagente a trazione. All'aumentare dei carichi la struttura si "parzializza" ed è come se cambiasse la sua geometria determinando in questo modo l'effetto di non linearità. La manifestazione più evidente della parzializzazione nelle strutture murarie è rappresentata dalla comparsa di lesioni di rottura per frattura, che interrompono la continuità tra parti contigue della compagine muraria. La seconda causa di non linearità è la limitata resistenza a compressione cui è associato il meccanismo di rottura per schiacciamento. Qualunque sia la complessità del modello proposto, non si può prescindere dalla descrizione del primo e del secondo modo di comportamento testé descritti.

 

Modelli esistenti

Nel contesto delle procedure di tipo non lineare, è necessario osservare che l'analisi dinamica comporta il ricorso a dati aggiuntivi (segnali accelerometrici, modelli isteretici, ecc.) con una forte dipendenza dei risultati dalla definizione dei dati in ingresso. D'altra parte, i modelli basati sull'analisi limite (Como & Grimaldi, 1985 - Abruzzese at al. 1992) consentono la sola valutazione del carico di collasso, riconducendosi di fatto allo studio di cinematismi di corpi rigidi e trascurando la deformabilità della struttura che può condizionarne sensibilmente le prestazioni in corrispondenza dei vari stati limite. In base a tali considerazioni, è allora possibile ritenere che i metodi basati sull'analisi non lineare di tipo statico (pushover) possano rappresentare l'approccio più conveniente per la valutazione della risposta sismica di strutture murarie. L'impiego di tale tipo di analisi può essere sviluppato, in ambito tecnico, riferendosi a differenti schematizzazioni, che possono basarsi sia su una modellazione di tipo bidimensionale dei pannelli murari che su una modellazione del tipo monodimensionale, in cui si ipotizza di isolare degli elementi (maschi, fasce) idealizzabili come travi tozze con comportamento non lineare oppure come bielle (puntoni). Nel caso dei modelli di tipo bidimensionale si nota come un ingrediente fondamentale della modellazione sia considerato il comportamento unilatero (o "no tension") del materiale che conferisce quindi una rigidezza variabile all'elemento, in funzione dello stato di sollecitazione. Per comportamento unilatero si intende l'ipotesi di resistenza a trazione nulla, che può essere di tipo generalizzato (non si ammette trazione in qualunque giacitura) oppure limitato a giaciture particolari (orientate come i letti di malta). L'implementazione della condizione "no tension" avviene quindi utilizzando tecniche che modificano la geometria degli elementi, al fine di eliminare le zone in trazione (D'Asdia e Viskovic, 1994), oppure mediante una opportuna formulazione del campo di sforzi all'interno del pannello (Braga e Liberatore, 1990). Nei due modelli appena citati per le zone compresse ovvero "reagenti" degli elementi vengono mantenute delle relazioni costitutive di tipo elastico lineare. Per tener conto di eventuali meccanismi di rottura quali ad esempio quelli legati allo schiacciamento della muratura compressa è quindi necessario introdurre delle verifiche sui valori massimi delle tensioni di compressione. In tali modelli si utilizzano quindi dei criteri di verifica della resistenza nei confronti di alcuni possibili meccanismi di rottura delle parti reagenti e l'analisi viene interrotta se uno dei criteri risulta violato.

 

Modelli numerici ad elementi monodimensionali

Nell'ambito poi dei modelli con elementi monodimensionali la classe dei modelli basati sull'idealizzazione a biella o a puntone (Calderoni et al., 1987 e 1989) si propone di modellare la porzione reagente del pannello murario mediante un elemento biella la cui inclinazione e la cui rigidezza riproducano in media il comportamento del pannello. Poiché al crescere della parzializzazione consegue una variazione delle proprietà geometriche della biella equivalente (inclinazioni, dimensioni della sezione), anche questi metodi sono classificabili come "a geometria variabile". La crisi dei singoli pannelli è associata al raggiungimento di una configurazione limite di equilibrio oppure alla rottura per compressione del puntone. L'altra classe di modelli con elementi monodimensionali fa uso di elementi trave con deformazione a taglio. In questo ambito sono stati proposti sia elementi a rigidezza costante in fase elastica cui segue una fase di deformazione plastica (Tomaževic, 1978, Dolce, 1989, Tomaževic e Weiss, 1990) che a rigidezza variabile (basata sul calcolo in sezione parzializzata, Braga e Dolce, 1982). Gran parte dei metodi basati sul "meccanismo di piano" (fra cui il POR) rientrano in questa classe di modelli. L'introduzione in ambito tecnico-scientifico di metodi basati su un'analisi statica non lineare risale proprio alla fine degli anni settanta, quando a seguito del terremoto del Friuli fu introdotto anche nel nostro paese proprio il metodo POR. I limiti principali del metodo consistevano nel considerare i maschi murari come unica sede di deformazioni e rotture, nell'ipotizzare come unico meccanismo di collasso quello di taglio per fessurazione diagonale e nel valutare le condizioni di crisi prescindendo dal comportamento complessivo e considerando una ripartizione delle azioni piano per piano. Modellazioni e metodi successivi, quali il metodo PORFLEX (Braga & Dolce, 1982), il metodo VEM (Fusier & Vignoli, 1993), il metodo RAN (Augenti et al., 1982) hanno in parte superato i limiti del metodo di Tomaževic mediante l'inserimento di elementi come cordoli, fasce di piano etc. ed hanno incluso la possibilità di portare in conto i meccanismi di rottura a pressoflessione degli elementi snelli consentendo anche analisi di tipo globale.

In alternativa a tali proposte sono state poi sviluppate recenti ed accurate modellazioni "semplificate" a macroelementi ed a telaio equivalente per un'analisi di tipo globale, quali il metodo SAM (Magenes & Della Fontana, 1996) ed il metodo TREMURI (Lagomarsino et al., 2002). In particolare il SAM è un metodo per l'analisi statica non lineare di edifici in muratura soggetti ad azioni orizzontali sviluppato presso l'Unità di Ricerca dell'Università di Pavia coordinata dal prof. Guido Magenes. Il metodo mira alla valutazione della risposta globale degli edifici in muratura, in cui il meccanismo resistente è governato dalla risposta nel piano delle pareti, senza considerare meccanismi di collasso associati alla risposta dinamica fuori dal piano. La sua applicazione al caso di pareti murarie piane, si basa su una modellazione a telaio equivalente costituito da elementi maschio (ad asse verticale), elementi fascia (ad asse orizzontale) ed elementi nodo presenti alle estremità di dette aste la cui dimensione può essere definita facendo riferimento a semplici regole di tipo geometrico. Gli elementi maschio e fascia sono del tipo "beam-column" e presentano deformabilità assiale ed a taglio. Gli elementi nodo sono invece infinitamente rigidi e resistenti per cui è possibile modellarli numericamente introducendo opportuni bracci rigidi (offsets) alle estremità degli elementi lineari maschio e fascia. Per quanto riguarda i meccanismi di rottura previsti per i singoli elementi possono essere di tre tipi: a) pressoflessione o ribaltamento (rocking); b) taglio scorrimento (bed joint sliding); c) taglio con fessurazione diagonale. In particolare il singolo meccanismo si attiva quando nell'elemento strutturale si raggiunge un valore limite della corrispondente caratteristica di resistenza. La condizione di collasso globale dell'intera struttura viene infine individuata per un valore dello spostamento cui corrisponde in almeno un maschio il raggiungimento del limite deformativo espresso in funzione del tipo di meccanismo in termini di distorsione angolare. Per poter applicare il metodo ad edifici reali è stato poi necessario sia inserire eventuali altri elementi strutturali diversi dalla muratura (ad esempio catene in acciaio o cordoli in cemento armato) che tener conto di una modellazione tridimensionale. In particolare quest'ultima estensione è stata effettuata introducendo opportuni link rigidi che permettono il collegamento tra pareti concorrenti in un martello o cantonale consentendo inoltre la modellazione del grado di ammorsamento tra dette pareti. Per quanto riguarda infine il comportamento statico fuori dal piano di un muro, esso viene modellato in analogia con il comportamento nel piano prevedendo che possano essere definite due diverse altezze efficaci relativamente alle deformazioni nel piano e fuori dal piano per cui si ritiene opportuno adottare in ogni caso un'altezza efficace pari all'altezza libera interpiano. È stata inoltre introdotta la possibilità di imporre l'ipotesi di solai infinitamente rigidi nel piano riducendo di conseguenza così i gradi di libertà cinematici, qualora lo si ritenga opportuno.

Il metodo TREMURI proposto dai ricercatori dell'Università di Genova (Gambarotta e Lagomarsino, 1996, Brencich e Lagomarsino, 1997 e 1998) si distingue dai modelli finora citati in quanto, sebbene possa essere utilizzato per l'analisi statica non lineare, mira anche alla modellazione del comportamento ciclico delle pareti in muratura. Trattandosi di un modello a macroelementi, esso ha quindi il grande pregio di consentire analisi dinamiche con un onere computazionale relativamente ridotto. In base ai criteri finora discussi, la classificazione del modello non risulta immediata. Anche in questo caso il metodo si basa su una schematizzazione a telaio equivalente in cui le deformazioni sono concentrate in corrispondenza dei maschi e delle fasce modellate come macroelementi finiti bidimensionali, a due nodi con tre gradi di libertà per nodo. Il macroelemento è inoltre diviso al suo interno in tre parti di cui due di estremità in cui è concentrato il comportamento a pressoflessione ed uno centrale in cui è concentrato il comportamento a taglio. Le restanti porzioni di parete distinte dai macroelementi vengono considerate come vincoli rigidi (offset) in grado di ridistribuire gli sforzi tra i vari elementi strutturali deformabili e di garantire il comportamento tridimensionale. Di fatto, le grandezze cinematiche e statiche utilizzate per la formulazione dell'elemento consistono in spostamenti e rotazioni nodali e in azioni risultanti M, T, N, che quindi richiamano i modelli monodimensionali. Tuttavia, l'introduzione di gradi di libertà interni all'elemento e di opportune considerazioni sui cinematismi di ribaltamento o "rocking" e di taglio-scorrimento conferiscono un carattere di "bidimensionalità" all'elemento, che sembra quindi riprodurre in modo efficace e sintetico le caratteristiche più importanti della risposta non lineare dei pannelli murari. Anche in questo caso la modellazione tridimensionale viene effettuata introducendo opportuni link rigidi che permettono il collegamento tra le pareti concorrenti in un incrocio anche se si trascura completamente il contributo delle pareti fuori dal piano. È stata infine introdotta oltre alla possibilità di imporre l'ipotesi di solaio infinitamente rigido quella di schematizzare l'impalcato come una piastra ortotropa.

 

Approcci FEM

Metodo FEM Infine in alternativa alle recenti ed accurate modellazioni a macroelementi per un'analisi di tipo globale, si può fare ricorso anche a modellazioni FEM che, sebbene a costo di un maggiore onere di calcolo, consentono di cogliere puntualmente le situazioni che caratterizzano le condizioni di crisi.

Il metodo può essere applicato considerando differenti schematizzazioni del materiale muratura: a) micro-modellazione discreta del materiale distinguendo il comportamento della malta, degli elementi lapidei ed il legame d'interfaccia; b) macromodellazione al continuo del materiale ideale, considerato come omogeneo ed isotropo o ortotropo.

Le prime proposte relative alla micro-modellazione sono dovute ad alcuni autori (Anthoine, 1992; Lourenço, 1994) che a seguito di specifiche analisi sperimentali hanno proposto semplici modelli di interazione malta-mattone e di comportamento per l'intero complesso strutturale in muratura.

Tuttavia, nella maggior parte dei casi concreti l'impiego della legge di interazione malta-mattone è di fatto non applicabile per la valutazione del comportamento globale della struttura, soprattutto nel caso di murature piuttosto irregolari in cui si può considerare una diffusione pressoché uniforme delle tensioni nel materiale. È allora più conveniente far ricorso ad una macro-modellazione al continuo in cui la muratura viene schematizzata tramite opportune relazioni costitutive tra tensioni e deformazioni medie del materiale.

Tale approccio, di tipo fenomenologico, è di gran lunga il più utilizzato in letteratura e comporta il vantaggio di una forte riduzione del tempo di calcolo, nonché una semplificazione nella definizione della discretizzazione (mesh).

 


Il modello semplificato del materiale muratura

L'eccezionale stabilità delle strutture murarie

 

La Grande Muraglia: un'imponente opera in muraturaE' un'osservazione forse banale che le strutture murarie del patrimonio storico-monumentale siano dotate di un'eccezionale stabilità in rapporto ad azioni repentine quali quelle associate a cause atmosferiche o ai terremoti e soprattutto alle sollecitazioni più subdole provocate da assestamenti o cedimenti lenti delle fondazioni. Le motivazioni di questo comportamento peculiare si trovano in numerosi lavori che originano essenzialmente dai lavori di Heyman e sono esposte in modo magistrale, con stile più divulgativo, nel più recente libro dello stesso autore [16].

Chi ha avuto esperienze professionali relative ad edifici in muratura sarà forse scettico nei confronti dell'affermata "eccezionale stabilità" di tali strutture in quanto, a partire dalla metà del '900, crolli e collassi strutturali di costruzioni in muratura non sono in verità così infrequenti.

La principale causa di ciò è, a nostro parere, la lenta e progressiva diminuzione della sensibilità degli ingegneri degli architetti e dei tecnici per il funzionamento strutturale delle costruzioni in muratura, che ha consentito il rimaneggiamento e talvolta lo stravolgimento dello scheletro strutturale di molti edifici in muratura, nel dispregio delle più elementari "regole" dell'equilibrio murario.

Esempi tipici sono l'improvvida apertura di vani, la realizzazione di sovrastrutture che determinano carichi concentrati sulle pareti, l'eliminazione di muri partimentali, lo svuotamento dei riempimenti delle volte. E se da un lato si è persa la capacità di valutare la effettiva pericolosità e l'impatto negativo di interventi del tipo appena descritto sull'assetto statico degli edifici in muratura, d'altra parte è aumentata la immotivata preoccupazione in relazione al manifestarsi di stati fessurativi spesso di natura del tutto fisiologica.

Se è vero che l'attuale disponibilità di strumenti di calcolo sofisticati ha avuto l'effetto perverso e diffuso di ridurre il bagaglio di buon senso strutturale degli ingegneri che si trovano ad operare sul campo, il fenomeno dell'insensibilità verso il reale comportamento delle strutture murarie coinvolge anche gli strutturisti più esperti. La spiegazione di tale stato di cose risiede probabilmente nel fatto che, a differenza di quanto accade per le strutture metalliche o in calcestruzzo armato, in prima approssimazione, la meccanica delle murature rientra nell'ambito della geometria piuttosto che in quello della resistenza dei materiali.

 

La resistenza "per forma": la muratura come materiale unilaterale

Ma più esplicitamente in cosa consiste questa caratteristica peculiare delle costruzioni murarie?

In anni recenti la progettazione strutturale è divenuta sempre più una questione di verifica della sicurezza in rapporto a "stati limite" definiti in base ad un certo numero di criteri.

Alcuni dei criteri che non possono essere trascurati per le strutture metalliche o in calcestruzzo armato, quale il limite consentito alla corrosione o all'ampiezza delle fessure, sebbene talvolta possano giocare qualche ruolo anche per alcuni tipi di muratura, sono certamente secondarie per le costruzioni murarie.

Ciò non è sorprendente e, comunque non è una condizione peculiare delle murature: che vi sia una scala di priorità nella verifica dei criteri è un concetto del tutto accettato. Il problema nasce quando si cerca di applicare alle struttura murarie i criteri base dell'analisi strutturale, ossia i criteri relativi alla resistenza, alla deformabilità e alla stabilità. In molti casi infatti si può constatare che la resistenza, la deformabilità e la stabilità, criteri cardine dell'analisi strutturale, hanno poca o nessuna rilevanza ai fini della valutazione della sicurezza della compagine muraria, la quale dipende essenzialmente dalla "forma" della struttura, dalle sue proporzioni, non dall'intensità dei carichi.

A differenza di quanto accade per le strutture metalliche o in calcestruzzo armato, in prima approssimazione, la meccanica delle murature rientra nell'ambito della geometria piuttosto che in quello della resistenza dei materiali

Ciò è illustrato in modo evidente dal problema dell'equilibrio dell'arco enunciato da Mery nel XIX secolo: l'arco è in equilibrio se è possibile determinare una curva delle pressioni, in equilibrio con i carchi esterni, interamente contenuta tra le curve di estradosso ed intradosso della struttura.

Come dimostra l'esempio dell'arco, il fatto che la stabilità delle strutture in muratura dipenda prevalentemente dalla forma e il "fattore di sicurezza" sia di natura prettamente geometrica deriva dal considerare la muratura un materiale unilaterale.

In realtà nessun tipo di muratura, per quanto scadente sia la malta o la qualità dei blocchi, è realmente un materiale unilaterale, ossia totalmente incapace di trasmettere trazioni. Piuttosto la muratura è un materiale elasto-fragile, la cui tenacità, a causa della scarsa e diversa resistenza a trazione delle sue "fasi" e del modo imprevedibile in cui la malta aderisce ai blocchi, risulta essere una funzione fortemente oscillante e sostanzialmente aleatoria della posizione.

Se è quindi prudente e conveniente considerare il materiale murario come unilaterale (ma anche necessario vista la impossibilità di definire una soglia certa per l'energia di frattura e quindi per la comunque piccola resistenza a trazione del materiale) è peraltro evidente che la muratura è in grado di sostenere tensioni di compressione puramente uniassiali. Il dominio di resistenza del materiale è quindi il cono di Coulomb per materiali incoerenti con angolo di attrito φ=90°.

La maggior parte degli "addetti ai lavori" percepisca l'ipotesi che il materiale sia internamente unilaterale con angolo di attrito φ=90°, come le uniche necessarie a definire il comportamento costitutivo del materiale, ossia che il modello di materiale non reagente a trazione sia unico.

In verità esiste tutto un repertorio di materiali incoerenti con angolo di attrito φ=90° (non reagente a trazione) ciascuno caratterizzato da specifiche ipotesi sulla deformazione associata al vincolo sulla tensione (deformazione latente) che rappresenta una misura diffusa delle fratture.

Il modello da adottare per la muratura dovrebbe essere tale da consentire ad una parete in muratura di mantenere la propria forma anche in presenza di stati uniassiali.

I più o meno piccoli blocchi che compongono le costruzioni in muratura sono compattati dalle compressioni in una certa forma iniziale. Tale forma può essere mantenuta solo se le pietre non slittano l'una rispetto all'altra. Un muro soggetto a carichi verticali deve avere la capacità di resistere ad azioni laterali, per attrito o a causa dell'ingranamento (interlocking) dei blocchi.

Lo slittamento tra le pietre è spesso impedito da chiavi e tenoni previsti proprio per questo scopo. In assenza di tali elementi lo scivolamento è impedito dall'attrito che si sviluppa sulle superfici compresse. Data la dimensione piccola, ma non trascurabile dei blocchi, lo slittamento risulta impedito anche nella direzione parallela alle forze di compressione. L'assenza di slittamento in direzione parallela alle tensioni uniassiali di compressione è dunque legata alla dimensione piccola, ma finita, delle pietre. Esiste evidentemente una "taglia" minima dei blocchi: un muro a secco verticale può mantenersi in equilibrio ma è impossibile realizzarlo con la sabbia.

 

Rottura per schiacciamento

Anche se in alcuni casi c'è evidenza di scorrimento tra i blocchi, generalmente le strutture murarie sono in grado di mantenere la loro forma piuttosto bene, specialmente in presenza di tensioni di compressione piccole in rapporto alle tensioni di rottura per schiacciamento. Del fenomeno dello scorrimento si deve necessariamente tenere conto se si considera, ad esempio, la crisi a taglio di un pannello murario soggetto a importanti forze verticali. In tali casi,per evitare le difficoltà sia analitiche che numeriche legate all'adozione di modelli attritivi, dal momento che la presenza dell'attrito fornisce agli elementi murari una sorta di duttilità, per semplicità si potrà modellare tale comportamento con un legame plastico associato.

 

Bibliografia

16. HEYMAN, J., "The stone skeleton" Imperial College Press, 1997.

 

 


Il nostro codice di calcolo per gli edifici in muratura

Soluzione numerica

inSide: postprocessore dei risultatiIl lavoro che sta alla base di inSide è stato rivolto in buona parte alla costruzione di un codice di calcolo semplice per le murature che avesse la potenzialità di rappresentare il comportamento descritto precedentemente e che, in particolare, consentisse: la definizione di un coefficiente di sicurezza geometrico rispetto al collasso, l'analisi delle sollecitazioni in strutture complesse, la definizione del campo di fratture diffuse in esercizio, la diagnosi dei dissesti.

Una delle principali difficoltà che incontrano i progettisti di interventi di recupero o adeguamento di strutture in muratura è quello di valutare in modo "puntuale" l'effetto che i previsti interventi di consolidamento o miglioramento strutturale hanno sullo stato di sollecitazione della costruzione.

Il grande successo che l'analisi strutturale ha avuto nel XX secolo è dovuta in buona parte al fatto che la maggior

La muratura ha un comportamento essenzialmente unilaterale che viola il principio di De Saint Venant

parte delle strutture è composta da elementi che possono essere trattati come monodimensionali e la progettazione di tali elementi richiede il controllo delle sole caratteristiche delle sollecitazioni. Il comportamento a"trave", legato sostanzialmente alla validità in elasticità lineare della congettura di De Saint Venant, consente di estendere in modo approssimato il modello monodimensionale ad elementi spessi o tozzi evitando così, nella maggior parte dei casi, l'onere di analisi più rigorose.
Come si è detto la muratura ha un comportamento essenzialmente unilaterale e, come si può verificare in modo banale, i materiali unilaterali violano il principio di De Saint Venant. In effetti la congettura di De Saint Venant asserisce che una distribuzione auto equilibrata di tensioni applicate all'estremo di una trave risulta in tensioni e deformazioni trascurabili già ad una piccola distanza dalla zona caricata. Ebbene tensioni auto-equilibrate non possono sussistere né al bordo né all'interno di un materiale unilaterale nel senso che non solo le tensioni equilibrate non si smorzano, ma non possono neanche diffondersi in equilibrio.

Il problema di equilibrio per una struttura composta di materiale unilaterale è quindi essenzialmente un problema di valori al contorno per domini almeno bidimensionali. Appare quindi necessario ricorrere all'adozione di codici di calcolo commerciali sofisticati, che consentano di tenere conto di comportamenti e legami costitutivi complessi. In realtà esistono numerosi programmi affidabili per l'analisi strutturale non lineare ma nessuno di essi è mirato all'analisi della risposta meccanica delle strutture murarie secondo la logica di comportamento che si è sin qui descritta. In particolare mancano codici di calcolo semplici che tengano conto correttamente della unilateralità della risposta. Ancor più curiosa è tale carenza se si osserva che, dopo tutto, molti dei comportamenti complessi cui si accennava in precedenza possono essere colti adottando un particolare modello elastico non lineare.

  


Il materiale Masonry-like 

In effetti c'è un modo semplice di avvicinarsi alla descrizione del comportamento peculiare delle costruzioni in muratura e, tenuto conto che i materiali murari sono scarsamente deformabili ed è quindi sufficiente restringersi al caso di piccole deformazioni, consiste nell'adottare le seguenti restrizioni materiali:

  1. Comportamento unilaterale: il materiale non è in grado di trasmettere sforzi di trazione.
  2. Le fratture si manifestano senza slittamenti.
  3. Il materiale si comporta in modo linearmente elastico a compressione.

Si può dimostrare che un tale materiale è globalmente elastico (non lineare) nel senso che la tensione è univocamente determinata dalla deformazione totale.

Se poi si vogliono descrivere fenomeni di collasso in cui interviene lo schiacciamento (fenomeno pericoloso e spesso non secondario) allora occorre aggiungere ulteriori restrizioni:

  1. Il materiale possiede una limitata resistenza alla compressione.
  2. L'incremento di deformazione da schiacciamento soddisfa una legge di normalità (comportamento associato).
  3. La capacità di deformazione da schiacciamento è limitata.

Con l'aggiunta di queste ulteriori restrizioni il modello è più complesso poiché la risposta dipende non solo dall'intensità iniziale e finale dei carichi ma anche dalla storia di deformazione.

In letteratura il modello definito dalle restrizioni 1-3 è detto "masonry-like" anche se qui con tale nome ci si riferisce al più completo modello 1-6.

Ogni tentativo di arricchire il modello precedente con ulteriori ipotesi costitutive tese a renderlo più aderente alla realtà appaiono velleitarie o inutilmente sofisticate, almeno per le costruzioni antiche, viste le incertezze circa la risposta locale del materiale e la difficoltà di stimare con accuratezza anche le costanti materiali più semplici.

 


Descrizione sommaria del codice di calcolo

Il programma di calcolo inSide è rivolto alla soluzione numerica di problemi di equilibrio per edifici in muratura soggetti a forze verticali ed orizzontali. Il materiale di cui tali strutture sono composte consente l'apertura di fratture e lo schiacciamento: il classico modello elastico normale non reagente a trazione è esteso considerando la plasticità associata. Il problema elasto-plastico è risolto con una strategia al passo, considerando una successione di problemi elastici non lineari formulati in modo variazionale, ossia ricercando il minimo di un funzionale di energia, aggiornato al passo, con una tecnica di discesa (gradiente coniugato).

La tecnica di minimizzazione per discesa è particolarmente efficiente per determinare la soluzione di equilibrio in presenza di vincoli interni unilaterali (materiale non reagente a trazione) e la strategia di soluzione al passo adottata conserva questa caratteristica positiva.
Nel programma il modello è implementato in un codice ad elementi finiti triangolari che sono in grado di modellare i diversi materiali e strutture presenti all'interno della muratura (materiale murario unilaterale, catene, piattabande elastiche bilaterali, cordoli, fasce di FRP, ecc.).

Il codice agli elementi finiti è stato validato attraverso confronti con soluzioni esatte e ottenute con altri codici di calcolo.

 

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